命題４

 

 

対応する角の等しい三角形において等しい角をはさむ辺は等しい角に対する辺が対応する場合に比例している。

 

��ABCと��DCEを∠DCEと等しい∠ABC、∠CDEと等しい∠BAC、∠CEDと等しい∠ACBを持つ対応する角の等しい三角形とする。

 

��ABCと��DECにおいて等しい角のまわりの辺は対応する辺が等しい角に対する場合比例していることをいう。

 

BCをCEと共に一直線上におく。

 

それから、∠ABCと∠ACBの和は２直角より少なく、そして∠ACB　は∠DECと等しいから、それゆえに∠ABCと∠DECの和は２直角より少ない。それゆえにBAとEDが作られるとき、交わるだろう。それらを作りFで交わるとする。proposition�T．１、common notion�T．５

 

さて、∠DCEは∠ABCと等しいから、DCはFBと平行である。再度、∠ACBは∠DECと等しいから、ACはFEと平行である。proposition�T．２８

 

それゆえにFACDは平行四辺形であり、それゆえにFAはDCと等しく、そしてACはFDと等しい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　proposition�T．３４

 

そして、ACは��FBCの辺FEと平行であるから、それゆえにBAはAFに対し同じようにBCはCEに対する。proposition�Y．２

 

しかしAFはCDと等しく、それゆえにBAはCDに対し同じようにBCはCEに対し、そして交互にABはBCに対し同じようにDCはCEに対する。proposition�X．７、proposition�X．１６

 

再度、CDはBFと平行であるから、それゆえにBCはCEに対し同じようにFDはDEに対する。proposition�Y．２

 

しかしFDはACと等しく、それゆえにBCはCEに対し同じようにACはDEに対し、そして交互にBCはCAに対し同じようにCEはEDに対する。proposition�X．７、proposition�X．１６

 

ABはBCに対し同じようにDCはCEに対し、そしてBCはCAに対し同じようにCEはEDに対することは証明されたから、それゆえに、等間隔比により、BAはACに対し同じようにCDはDEに対する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　proposition�X．２２

 

それゆえに、対応する角の等しい三角形において等しい角をはさむ辺は等しい角に対する辺が対応する場合に比例している。

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終了

 

 

 

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